تالار گفتمان مانشت

سلام
دوستان لطفا راه حل سوال زیر رو برام تشریح کنید. البته میدونم ۶۰^۲ حالت برای ایجاد سه زیرمجموعه داریم. از این به بعد دیگه بلد نیستم.

سلام. جواب میشه مجموع تعداد حالاتی که اندازه اجتماع 20 میشه بعلاوه مجموع تعداد حالاتی که اجتماع 19 میشه و ...

برای حالتی که اندازه اجتماع 20 میشه هر عضو از مجموعه 7 حالت داره. (توی یکی از سه مجموعه، توی دو تا و یا توی 3 تاشون باشه.) پس [tex]7^{20}[/tex] حالت داریم.
حالتی که اندازه اجتماع 19 باشه یه عضو توی هیچ مجموعه ای نیست و بقیه توی حداقل یه مجموعه هستن. برای عضوی که قراره توی هیچ مجموعه ای نباشه 20 حالت و برای تعداد انتخابهاش 1 حالت داریم. پس این حالت میشه [tex]\binom{20}{1}7^{19}=\binom{20}{19}7^{19}[/tex].
برای حالتی هم که اجتماع 18 بشه باید دو عضو توی هیچ مجموعه ای نباشن.
...
پس کل حالات میشه [tex]\sum_{i=1}^{20}i\times\binom{20}{i}\times7^i[/tex].

(13 دى 1392 05:49 ب.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]سلام. جواب میشه مجموع تعداد حالاتی که اندازه اجتماع ۲۰ میشه بعلاوه مجموع تعداد حالاتی که اجتماع ۱۹ میشه و ...

برای حالتی که اندازه اجتماع ۲۰ میشه هر عضو از مجموعه ۷ حالت داره. (توی یکی از سه مجموعه، توی دو تا و یا توی ۳ تاشون باشه.) پس [tex]7^{20}[/tex] حالت داریم.
حالتی که اندازه اجتماع ۱۹ باشه یه عضو توی هیچ مجموعه ای نیست و بقیه توی حداقل یه مجموعه هستن. برای عضوی که قراره توی هیچ مجموعه ای نباشه ۲۰ حالت و برای تعداد انتخابهاش ۱ حالت داریم. پس این حالت میشه [tex]\binom{20}{1}7^{19}=\binom{20}{19}7^{19}[/tex].
برای حالتی هم که اجتماع ۱۸ بشه باید دو عضو توی هیچ مجموعه ای نباشن.
...
پس کل حالات میشه [tex]\sum_{i=1}^{20}i\times\binom{20}{i}\times7^i[/tex].

حالا به نظرتون این جواب کدوم گزینه میشه؟

(13 دى 1392 08:36 ب.ظ)wokesh نوشته شده توسط: [ -> ]

(13 دى 1392 05:49 ب.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]سلام. جواب میشه مجموع تعداد حالاتی که اندازه اجتماع ۲۰ میشه بعلاوه مجموع تعداد حالاتی که اجتماع ۱۹ میشه و ...

برای حالتی که اندازه اجتماع ۲۰ میشه هر عضو از مجموعه ۷ حالت داره. (توی یکی از سه مجموعه، توی دو تا و یا توی ۳ تاشون باشه.) پس [tex]7^{20}[/tex] حالت داریم.
حالتی که اندازه اجتماع ۱۹ باشه یه عضو توی هیچ مجموعه ای نیست و بقیه توی حداقل یه مجموعه هستن. برای عضوی که قراره توی هیچ مجموعه ای نباشه ۲۰ حالت و برای تعداد انتخابهاش ۱ حالت داریم. پس این حالت میشه [tex]\binom{20}{1}7^{19}=\binom{20}{19}7^{19}[/tex].
برای حالتی هم که اجتماع ۱۸ بشه باید دو عضو توی هیچ مجموعه ای نباشن.
...
پس کل حالات میشه [tex]\sum_{i=1}^{20}i\times\binom{20}{i}\times7^i[/tex].

حالا به نظرتون این جواب کدوم گزینه میشه؟

اینجور که معلومه یه راه حل دیگه نیازه. شاید از تابع مولد یکی از این جوابا بدست بیاد.

یکی لطف میکنه واسه من توضیح بده سوال چی میخواد ؟؟؟

(20 دى 1392 07:48 ب.ظ)farham_heidari نوشته شده توسط: [ -> ]یکی لطف میکنه واسه من توضیح بده سوال چی میخواد ؟؟؟

این سوال چند روزیه که منو درگیر خودش کرده و اصلا نمیدونم باید باهاش چیکار کنم! فقط میدونم به [tex] 2^{60}[/tex] حالت میتونیم اعضا مجموعه A رو در سه زیرمجموعه [tex]A_{1}[/tex]، [tex]A_{2}[/tex] و [tex]A_{3}[/tex] توزیع کرد. البته با این فرض که بعضی از اعضا مجموعه A میتونند در هیچ زیرمجموعه ای قرار نگیرند.
قضیه از این قراره که یه مجموعه B داریم که دارای عضوهای سه تایی است و هر یک از اعضا سه تایی مجموعه B، زیرمجموعه هایی از مجموعه A هستند. حالا اومده هر عضو سه تایی مجموعه B رو با هم اجتماع کرده و کاردینال این اجتماع رو حساب میکنه و با هم جمع میزنه. میگه مجموع این کاردینالها چند میشه؟

جوابو در حالت کلی به پیوست گذاشتم

(07 بهمن 1392 10:56 ب.ظ)maria12 نوشته شده توسط: [ -> ]جوابو در حالت کلی به پیوست گذاشتم

نمیدونم این جوابو از کجا پیدا کردید ولی جوابش اصلا قابل فهم نیست

کتاب شمردنی ها را بشمار
دکتر میرزاوزیری

راه حل کتاب اینجوری بوده که بجای اینکه هر دفعه مجموع اندازه مجموعه هارو حساب کنه (راه اصلی) تعداد حالتی که هر عضو از مجموعه انتخاب میشه رو حساب کرده. روش کار برای این مثال:

3 تا مجموعه و 20 عضو داریم که اگه قراره هر عضومون توی یکی از مجموعه ها قرار بگیره، توی اجتماعشون قرار میگیره. یعنی هر عضو توی 7 حالت از 8 حالت جود یا عدم وجود در 3 مجموعه، در اجتماع قرار میگیره و در مجموع نهایی حساب میشه. پس برای هر عضو 7 حالت داریم که توی مجموع قرار بگیره.
هر کدوم از 7 حالت برای یک عضو درکل چندبار تکرار میشه. درواقع تعداد حالات 19 عضو باقیمونده چندتاست. هرچقدر تعداد حالت های اون 19 عضو بیشتر باشه تعداد انتخابهای اون عضو خاصمون بیشتر میشه (توی احتمالش فرقی نمیکنه ولی اینجا تعداد مهمه.) برای هر عضو از اون 19 عضو تعداد 8 حالت داریم که توی هرکدوم از 3 مجموعه باشن یا نباشن. 19 عضو داریم پس تعداد7 ضربدر 8 به توان 19 بار، عضو خاصمون توی اون اجتماع فرمول نهایی ظاهر میشه.
درکل 20 عضو داریم که توی جمع تاثیر دارن. پس رابطه قبلی در 20 ضرب میشه [tex]20*7*8^{19}=20*(2^3-1)(2^{57})=20*(2^{60}-2^{57})[/tex].