تالار گفتمان مانشت

سوال از تابع مولد

کسی ایده ای برای حل این سوال نداره؟

حل این سوال به این صورت هست که شما سه متغیر در نظر میگیرید به ازای هر سکه، من این طوری فرض می‌کنم:
تعداد سکه‌های یک تومانی = $x$
تعداد سکه‌های دو تومانی = $ y$
تعداد سکه‌های سه تومانی = $z$
حال شما باید دستگاه زیر را حل کنید:

$
\[ \left\{
\begin{array}{c}
x + 2y + 3z = 20 \\
y<x<20
\end{array} \right.\]
$

باید مقداری که هر از متغیرهایی که در نظر گرفتیم می‌تونه بهش تعلق بگیره رو تعیین کنیم:

$
x \in \{ 0, 1,2,..., 20 \} \rightarrow p_x = (1+x+x^2+...+x^{20})
$

$ y \in \{ 0, 1, ..., 10 \} \rightarrow 2y \in \{0,2, ..., 20 \} \rightarrow p_{2y} = (1+x^2 + x^4 + ... + x^{20})$

$ z \in \{ 0 ,1 , .., 6 \} \rightarrow \{0,3, ..., 18\} \rightarrow p_{3z} = (1+x^3+ .... + x^{18} )$

تابع مولد معادله‌ای که در بالا برای x و y و z ذکر کردیم میشه برابر با :

$p_x.p_{2y}.p_{3z} = (1+x+x^2+...+x^{20}).(1+x^2 + x^4 + ... + x^{20}). (1+x^3+ .... + x^{18} ) $

حالا جواب معادله‌ی $ x + 2y + 3z=20$ برابر میشه با ضریب $x^{20}$ در ضربی که در بالا انجام میشه. در ضمن ما باید حواسمون به شرط اضافه‌ای که مسئله گذاشته یعنی اینکه تعداد xها از تعداد yها بیشتر هست! برای مثال نمیشه توان ۱۸ رو از $p_{3z}$ به همراه توان ۲ از $p_{2y}$ و توان صفر (همون عدد یک) از p_x توی هم ضرب کنیم و به توان برسیم (یعنی میشه برسیم‌ها فقط اون شرط اضافی x بزرگتر از y ارضا نمیشه پس نباید حسابش کنیم)
خب حالا زحمتی که باید بکشیم اینه که توان‌های پرانتز سوم رو بنویسیم بعدش رو به روش توان‌های ممکن برای دو پرانتز دیگه رو طوریکه مجموع توان‌ها بشه ۲۰ و بعدش حالاتی که نباید حذف کنیم! ضریبی که به دست میاد همون جواب مسئله هست!
ببخشید نوشتن دستورات لاتکس توی این قسمت پاسخی که مانشت قرار داده خیلی ملال آوره و من دیگه حوصله نکردم بنویسم و حساب کنم.
موفق باشید.