تعداد جواب های صحیح نامعادله - نسخهی قابل چاپ |
تعداد جواب های صحیح نامعادله - amir2930 - 24 خرداد ۱۳۹۳ ۰۸:۵۲ ق.ظ
تعداد جواب های صحیح نامعادله |
RE: تعداد جواب های صحیح نامعادله - Morris - 24 خرداد ۱۳۹۳ ۱۱:۱۱ ق.ظ
می دانیم پاسخ معادله [tex]x_1 x_2 x_3=k[/tex] پاسخ مساله انتخاب k شی از ۳ شی با تکرار و همچنین پاسخ مساله قرار دادن k شی یکسان در سه ظرف متفاوت است. در نتیجه پاسخ مساله فوق [tex]\binom{3 k-1}{k}[/tex] است. اما در صورت سوال مطرح شده داریم : [tex]7\le x_1 x_2 x_3\le12[/tex] که معادل است با ۶ معادله زیر : [tex]x_1 x_2 x_3=7[/tex] [tex]x_1 x_2 x_3=8[/tex] [tex]x_1 x_2 x_3=9[/tex] [tex]x_1 x_2 x_3=10[/tex] [tex]x_1 x_2 x_3=11[/tex] [tex]x_1 x_2 x_3=12[/tex] جواب همه ۶ معادلات فوق را با هم جمع می کنیم و آنچه در زیر آمده است را خواهیم داشت : [tex]\binom{3 7-1}{7} \binom{3 8-1}{8} \binom{3 9-1}{9} \binom{3 10-1}{10} \binom{3 11-1}{11} \binom{3 12-1}{12}[/tex] که معادل است با : [tex]\binom{9}{7} \binom{10}{8} \binom{11}{9} \binom{12}{10} \binom{13}{11} \binom{14}{12}[/tex] به مقدار فوق یک [tex]\binom{9}{6}[/tex] اضافه و کم می کنیم و خواهیم داشت : [tex]\binom{9}{6} \binom{9}{7} \binom{10}{8} \binom{11}{9} \binom{12}{10} \binom{13}{11} \binom{14}{12}-\binom{9}{6}[/tex] طبق اتحاد پاسکال داریم : [tex]\binom{n 1}{r}=\binom{n}{r} \binom{n}{r-1}[/tex] بنابراین از سمت چپ مقدار محاسبه شده شروع به ساده سازی می کنیم و هر دو ترکیب سمت چپ را با معادل اتحاد پاسکال آن جایگزاری می کنیم. مثلا بجای [tex]\binom{9}{6} \binom{9}{7}[/tex] قرار می گیرد [tex]\binom{10}{7}[/tex] . در نهایت خواهیم داشت : [tex]\binom{15}{12}-\binom{9}{6}=371[/tex] پس گزینه سه صحیح است. |
RE: تعداد جواب های صحیح نامعادله - amir2930 - 24 خرداد ۱۳۹۳ ۱۱:۵۲ ق.ظ
سپاس |