آیا مجموعه ی
X^2+1 -
; ۲+X+2X^2
; ۳-۲X
یک پایه برای P2 است؟
اگر منظور شما از p2 چندجمله ای درجه‌ی ۲ هست، باید بگم که روش حلش اینطوریه که اول باید سعی کنید چند جمله ای درجه ۲ را با استفاده از بردارهایی که دارید بسازید
[tex]c_1(-x^2 1) c_2(x 2x^2 2) c_3(3-2x)=[/tex]
$-c_1x^2+c_1+c_2x+2c_2x^2+2c_2+3c_3-2c_3x=$
$(۲c_2-c_1)x^2+(c_2-2c_3)x+(c_1+2c_2+3c_3)$
حالا باید ببینید که آیا این ضرایب همگی با هم صفر میشن یا اینکه یکی از بردارها بوده که از ترکیب خطی اونای دیگه ساخته شده:
$\begin{array}{c}
۲c_2-c_1=a_2 \\
c_2-2c_3=a_1 \\
c_1+2c_2+3c_3=a_0
\end{array} $
که ضرایب $a_i$ها برای یک فرمول درجه دو دلخواه به شکل $a_2x^2+a_1x+a_0=0$ بوده است ( و ما می خواهیم ببینیم که می تونیم این بردارها رو طوری ترکیب کنیم که این چند جمله ای به دست بیاد یا نه!)
از معادله ی اول داریم:
$c_1=2c_2-a_2$
اینو می ذاریم توی معادله ی سوم و دستگاه حل می کنیم:
$\begin{array}{c}
c_2-2c_3=a_1\\
۴c_2+3c_3=a_0+a_2
\end{array}$
با یه کم مفصل نویسی داریم:
$\begin{array}{c}
-۴c_2+8c_3=-4a_1\\
۴c_2+3c_3=a_0+a_2
\end{array}$
حالا داریم: $۱۱c_3=-4a_1+a_0+a_2$
که نتیجه میده: $c_3=\frac{-4a_1+a_0+a_2}{11}$
و اون دوتا ضریب دیگه $c_2 , c_3$ رو هم همین طوری به دست میاریم. این یعنی اینکه هر معادله ی دلخواه درجه ۲ که داشتیم ضرایب کافی با ترکیب خطی شامل ضرایب $c_i$ای که تعریف کردیم رو می تونیم بسازیم و این یعنی اینکه بله اونا یه پایه برای معادلات درجه دو رو تشکیل می دن. اگه دستگاه حل نشد، یعنی جواب نداشت یا اینکه وادار کرد که جواب صفر داشته باشه معلوم میشه که این بردارها پایه برای چندجمله ای های درجه ۲ نبودن.