خیلی ساده است. فکر کنم گاوس این مسئله رو به این شکل ِ خیلی ساده حل کرد:



مورد ۶و۷ هم رو با استقرای ریاضی میتونید اثبات کنید. چون یه کمی درهم برهم مینویسم سخته خوندنش واستون فقط راه حلش رو گفتم اما اگه همچنان تو اثباتش مشکل داشتید بگید تا اونا رو هم بنویسم

اولین مورد مربوطه به تصاعد حسابیه:


مهمان عزیز شما قادر به مشاهده پیوندهای انجمن مانشت نمی‌باشید. جهت مشاهده پیوندها ثبت نام کنید.


دومی:


مهمان عزیز شما قادر به مشاهده پیوندهای انجمن مانشت نمی‌باشید. جهت مشاهده پیوندها ثبت نام کنید.


و مورد آخر:


مهمان عزیز شما قادر به مشاهده پیوندهای انجمن مانشت نمی‌باشید. جهت مشاهده پیوندها ثبت نام کنید.

نقل قول: فکر کنم گاوس این مسئله رو به این شکل ِ خیلی ساده حل کرد

بله، گاوس در نه سالگی این اثبات رو ارائه کرده، وقتی که معلم‌شون خواسته بود کلاس رو یک ساعتی مشغول کنه! و از اون‌ها خواسته بود جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ رو بدست بیارن.


منبع (کتاب ریاضیات ملموس اثر دونالد کنوث)
Concrete Mathematics-Ronald L. Graham & Donald E. Knuth & Oren Patashnik-2nd Edition-1994

فکر کنم بتونید برای هر یک از موارد ۵ و ۶ و ۷ بیش از یک اثبات توش پیدا کنید.