برای اینکه [tex]U[/tex] همسازه باشد باید: [tex]U_{xx} U_{yy}=0[/tex] باشد.
پس:
[tex]U=x^3-axy^2\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: \: \: \: \: U_{xx} U_{yy}=0\: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: (6x) (-2ax)=0\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: a=3\: \: \: \longrightarrow\: \: \: U=x^3-3xy^2[/tex]

پیدا کردن همساز [tex]U[/tex] یعنی [tex]V[/tex] :
باید شروط زیر را بررسی کنیم:
[tex]\clubsuit\: \: \: first\: condition:\: \: \: \: U_x=V_y\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: 3x^2-3y^2=V_y\: \: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: V=h(x) 3x^2y-y^3[/tex]
[tex]\clubsuit\: \: \: \second\: condition:\: \: \: \: U_y=-V_x\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: -6xy=-(h'(x) 6xy)\: \: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: \: h'(x)=0\: \: \: \: \longrightarrow\: \: \: h(x)=C\: \: \: constant[/tex]

[tex]\mapsto\: \: V=3x^2y-y^3 C[/tex]
[tex]\mapsto\: \: f=U iV=(x^3-3xy^2) i(C 3x^2y-y^3)[/tex]

برای نوشتن تابع [tex]f[/tex] برحسب [tex]z[/tex] باید تغییرات زیر را اعمال کنیم:
[tex]x\: \longrightarrow\: z\: ,\: y\: \longrightarrow\: 0\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \mapsto\: \: \: \: \: \: f(z)=z^3 C_1[/tex]