تالار گفتمان مانشت

سلام ممنون می شم جواب بدین
ایا خواص زیر برقرار است
f(n)=O(g(n))& g(n)=O(f(n
انگاه ((f(n)=θ(g(n و (( g(n)=θ(f(n
می دونم برقراره ولی توی صدای استاد کاملا واضح نیست حس می کنم می گه برقرار نیست

با استفاده از تعریف O نشان می دهیم که [tex]f(n)=\Theta(g(n))[/tex] به طور مشابه برای قسمت دیگر نیز می تواند نشان داد.

[tex]f(n)=O(g(n)) \Rightarrow \exists c1\epsilon \mathbb{R} , \ \ n1\epsilon \mathbb{N}\ \ \forall n\geq n1 \ \ f(n)\leq c1g(n) \ * \\ \\ g(n)=O(f(n)) \Rightarrow \exists c2\epsilon \mathbb{R} , \ \ n2\epsilon \mathbb{N} \ \ \forall n\geq n2 \ \ g(n)\leq c2f(n) \ ** \\ \\ \overset{**\times \frac{1}{c2}}{\rightarrow} \ \frac{1}{c2}g(n)\leq f(n) \\ \\ N=max\left \{ n1,n2 \right \} , \frac{1}{c2}={c2}' \\ \\ \Rightarrow \ \forall n\geq N \ \ {c2}'g(n)\leq f(n) \leq c1 g(n) \\ \\ \Rightarrow \ f(n)=\Theta (g(n))[/tex]