20 خرداد 1393, 06:26 ب.ظ
10 خرداد 1395, 07:16 ب.ظ
سلام.مسیر کشیده شده یه ربع دایره ست،نه نیم دایره
با دو روش حلش می کنم:
۱) در [tex]\int_C\: f(z)dz[/tex] ،اگر مسیر c ،یک مسیر باز باشد (مسیری باز است که نقطه ابتدا(a) و انتهای آن(b) ،بر هم منطبق نباشد) و اگر تابع f(z) یک تابع تحلیلی باشد،آنگاه:
جواب انتگرال برابر [tex]\int_C\: f(z)dz\: =\: \int_a^b\: f(z)dz\: =\: F(b)\: -\: F(a)[/tex] خواهد شد.
*یعنی تنها نقاط ابتدا و انتهای مسیر برای ما مهم خواهد بود.
پس جواب این سوال برابر میشه با:
*در ضمن این هم بگم که در اعداد مختلط،عدد منفی معنی نداره. و [tex]-1[/tex] همان [tex]-1\: +\: 0i[/tex] هستش.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
۲) میتونیم به روش معمولی هم این سوال رو حل کنیم.
معادله ی این مسیرِ باز برابر است با : [tex]z=1e^{i\theta}\: \: \: \: 0\le\theta\: \le\frac{\pi}{2}[/tex]
پس جواب این سوال برابر میشه با:
با دو روش حلش می کنم:
۱) در [tex]\int_C\: f(z)dz[/tex] ،اگر مسیر c ،یک مسیر باز باشد (مسیری باز است که نقطه ابتدا(a) و انتهای آن(b) ،بر هم منطبق نباشد) و اگر تابع f(z) یک تابع تحلیلی باشد،آنگاه:
جواب انتگرال برابر [tex]\int_C\: f(z)dz\: =\: \int_a^b\: f(z)dz\: =\: F(b)\: -\: F(a)[/tex] خواهد شد.
*یعنی تنها نقاط ابتدا و انتهای مسیر برای ما مهم خواهد بود.
پس جواب این سوال برابر میشه با:
[tex]\int_{1+0i}^{0+1i}\: zdz\: =\int_1^i\: zdz\: =[\frac{z^2}{2}]_1^i\: =\frac{\: i^2}{2}\: -\frac{\: 1^2}{2}\: =\: \frac{-1}{2}\: -\frac{\: 1}{2}\: =\: -1[/tex]
*در ضمن این هم بگم که در اعداد مختلط،عدد منفی معنی نداره. و [tex]-1[/tex] همان [tex]-1\: +\: 0i[/tex] هستش.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
۲) میتونیم به روش معمولی هم این سوال رو حل کنیم.
معادله ی این مسیرِ باز برابر است با : [tex]z=1e^{i\theta}\: \: \: \: 0\le\theta\: \le\frac{\pi}{2}[/tex]
پس جواب این سوال برابر میشه با:
[tex]z=e^{i\theta}[/tex]
[tex]dz=i\: e^{i\theta}\: d\theta[/tex]
[tex]\int_c\: zdz\: =\: \int_0^{\frac{\pi}{2}}\: (e^{i\theta})(ie^{i\theta}d\theta)\: =\: \: i\: \int_0^{\frac{\pi}{2}}\: e^{2i\theta}\: d\theta\: \: =\: \frac{\: i}{2i}[e^{2i\theta}]_0^{\frac{\pi}{2}}\: =\frac{\: 1}{2}\: (e^{i\pi}\: -\: 1)\: =\frac{\: 1}{2}\: (\cos\pi\: +\: i\: \sin\pi\: -1)\: =\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{\: 1}{2}\: (-1+0-1)\: =\: -1[/tex]