تالار گفتمان مانشت

سلام
سوال ۴۶کنکور ارشد مهندسی کامپیوتر سال ۹۵
جواب گزینه چند میشه با توضیح

سلام و وقت بخیر ....

دو معادله را با هم جمع میکنیم .

[tex]a_{n+1}+b_{n+1}=2a_n+2b_n=2(a_n+b_n)[/tex]
[tex]a_0+b_0=1+0=1[/tex]

حال داریم :

[tex]\Longrightarrow\: a_n+b_n=2^n\: \: \longrightarrow\: a_{20}+b_{20}=2^{20}[/tex]

با حذف [tex]b_n[/tex] از معادلات داده شده و حل رابطه داریم :

[tex]a_n=(1-2n)(2^n)[/tex] پس [tex]a_{20}=(-39)2^{20}[/tex]

در نهایت داریم :

[tex]\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}=-39[/tex]

سلام. وقت بخیر.
بعنوان تکمیل پاسخ دوستمون alireza01:
مقدار [tex]a_n+b_n[/tex] رو اول از جمع دو رابطه حساب می‌کنیم. جواب میشه:

[tex]a_n+b_n=-2a_{n-1}-4b_{n-1}+4a_{n-1}+6b_{n-1}=2(a_{n-1}+b_{n-1})\Rightarrow a_n+b_n=2^n(a_0+b_0)=2^n[/tex]

مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد. به عبارت زیر می‌رسیم.

[tex]a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}[/tex]

این رابطه رو با استفاده از معادله مشخصه حل می‌کنیم.

[tex]r^2-4r+4=0\Rightarrow r_1=r_2=2\Rightarrow a_n=2^n(c_1+c_2n)[/tex]

با قرار دادن مقادیر جملات [tex]a_0[/tex] و [tex]a_1[/tex] مقادیر ثابت رابطه بالا رو حساب می‌کنیم. خواهیم داشت.

[tex]a_n=2^n(1-2n)[/tex]

[tex]\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}=\frac{2^{20}(1-2\times 20)}{2^{20}}=-39[/tex]

(01 اسفند 1395 12:45 ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]سلام. وقت بخیر.
بعنوان تکمیل پاسخ دوستمون alireza01:

درود بر شما که با حوصله فراوان پاسخ میدید .

سلام
تشکر فروان از همه

(01 اسفند 1395 12:45 ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]سلام. وقت بخیر.
بعنوان تکمیل پاسخ دوستمون alireza01:
مقدار [tex]a_n+b_n[/tex] رو اول از جمع دو رابطه حساب می‌کنیم. جواب میشه:

[tex]a_n+b_n=-2a_{n-1}-4b_{n-1}+4a_{n-1}+6b_{n-1}=2(a_{n-1}+b_{n-1})\Rightarrow a_n+b_n=2^n(a_0+b_0)=2^n[/tex]

مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد. به عبارت زیر می‌رسیم.

[tex]a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}[/tex]

این رابطه رو با استفاده از معادله مشخصه حل می‌کنیم.

[tex]r^2-4r+4=0\Rightarrow r_1=r_2=2\Rightarrow a_n=2^n(c_1+c_2n)[/tex]

با قرار دادن مقادیر جملات [tex]a_0[/tex] و [tex]a_1[/tex] مقادیر ثابت رابطه بالا رو حساب می‌کنیم. خواهیم داشت.

[tex]a_n=2^n(1-2n)[/tex]

[tex]\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}=\frac{2^{20}(1-2\times 20)}{2^{20}}=-39[/tex]

سلام وقت بخیر .
ببخشید این قسمتو ممکن توضیح بدین چطوری محاسبه شده .توی عبارت بالا ما اصلا [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] نداریم ؟
و همچنین این قسمتو چطوری محاسبه کردین ؟[tex]2(a_{n-1}+b_{n-1})_{ }=a_n+b_n=2^n(a_{0\: }+b_0)[/tex]
چطوری ۲ توان n گرفته ؟

(01 اسفند 1395 12:45 ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]سلام. وقت بخیر.
بعنوان تکمیل پاسخ دوستمون alireza01:
مقدار [tex]a_n+b_n[/tex] رو اول از جمع دو رابطه حساب می‌کنیم. جواب میشه:

[tex]a_n+b_n=-2a_{n-1}-4b_{n-1}+4a_{n-1}+6b_{n-1}=2(a_{n-1}+b_{n-1})\Rightarrow a_n+b_n=2^n(a_0+b_0)=2^n[/tex]

مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد. به عبارت زیر می‌رسیم.

[tex]a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}[/tex]

این رابطه رو با استفاده از معادله مشخصه حل می‌کنیم.

[tex]r^2-4r+4=0\Rightarrow r_1=r_2=2\Rightarrow a_n=2^n(c_1+c_2n)[/tex]

با قرار دادن مقادیر جملات [tex]a_0[/tex] و [tex]a_1[/tex] مقادیر ثابت رابطه بالا رو حساب می‌کنیم. خواهیم داشت.

[tex]a_n=2^n(1-2n)[/tex]

[tex]\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}=\frac{2^{20}(1-2\times 20)}{2^{20}}=-39[/tex]

(06 فروردین 1396 09:49 ب.ظ)Alirezaj نوشته شده توسط: [ -> ]سلام وقت بخیر .
ببخشید این قسمتو ممکن توضیح بدین چطوری محاسبه شده .توی عبارت بالا ما اصلا [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] نداریم ؟
و همچنین این قسمتو چطوری محاسبه کردین ؟[tex]2(a_{n-1}+b_{n-1})_{ }=a_n+b_n=2^n(a_{0\: }+b_0)[/tex]
چطوری ۲ توان n گرفته ؟

سلام. وقت بخیر. برای سوال اولتون:
[tex]a_{n-1}=-2a_{n-2}-4b_{n-2}[/tex]
این عبارت بالا رو داریم. کافیه اندیس بیشترین جمله رو برابر n-1 بگیرید. حالا دوطرف رو در ۶ ضرب کنید.

برای سوال دومتون:
با فرض [tex]C_n=a_n+b_n[/tex] وقتی داریم [tex]C_n=kC_{n-1}[/tex] میتونیم بنویسیم [tex]C_n=k^nC_0[/tex]. به بخش حل معادلات بازگشتی همگن درجه ۱ با ضرایب ثابت مراجعه کنید.

(08 فروردین 1396 02:22 ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]

(06 فروردین 1396 09:49 ب.ظ)Alirezaj نوشته شده توسط: [ -> ]سلام وقت بخیر .
ببخشید این قسمتو ممکن توضیح بدین چطوری محاسبه شده .توی عبارت بالا ما اصلا [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] نداریم ؟
و همچنین این قسمتو چطوری محاسبه کردین ؟[tex]2(a_{n-1}+b_{n-1})_{ }=a_n+b_n=2^n(a_{0\: }+b_0)[/tex]
چطوری ۲ توان n گرفته ؟

سلام. وقت بخیر. برای سوال اولتون:
[tex]a_{n-1}=-2a_{n-2}-4b_{n-2}[/tex]
این عبارت بالا رو داریم. کافیه اندیس بیشترین جمله رو برابر n-1 بگیرید. حالا دوطرف رو در ۶ ضرب کنید.

برای سوال دومتون:
با فرض [tex]C_n=a_n+b_n[/tex] وقتی داریم [tex]C_n=kC_{n-1}[/tex] میتونیم بنویسیم [tex]C_n=k^nC_0[/tex]. به بخش حل معادلات بازگشتی همگن درجه ۱ با ضرایب ثابت مراجعه کنید.

ببخشید .یک سوال.

اگه ممکنه میشه این جمله رو توضیح بدین که دقیقا منظورتون چی بوده ؟
"مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد.".
منظورم اینکه از کدوم رابطه مقدار [tex]a_n[/tex] رو محاسبه میکنیم ؟
و از کدوم رابطه مقدار [tex]b_n[/tex] رو حذف میکنیم ؟
اگه توضیح بدین ممنون میشم .

(08 فروردین 1396 09:25 ق.ظ)Alirezaj نوشته شده توسط: [ -> ]ببخشید .یک سوال.

اگه ممکنه میشه این جمله رو توضیح بدین که دقیقا منظورتون چی بوده ؟
"مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد.".
منظورم اینکه از کدوم رابطه مقدار [tex]a_n[/tex] رو محاسبه میکنیم ؟
و از کدوم رابطه مقدار [tex]b_n[/tex] رو حذف میکنیم ؟
اگه توضیح بدین ممنون میشم .

منظور اینه که قصد داریم دنباله a رو مستقل از b حساب کنیم تا بشه فرم صریحش رو حساب کرد.

(09 فروردین 1396 01:17 ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: [ -> ]

(08 فروردین 1396 09:25 ق.ظ)Alirezaj نوشته شده توسط: [ -> ]ببخشید .یک سوال.

اگه ممکنه میشه این جمله رو توضیح بدین که دقیقا منظورتون چی بوده ؟
"مقدار [tex]a_n[/tex] رو هم حساب می‌کنیم. برای این کار میشه جمله [tex]4b_{n-1}[/tex] رو بصورت [tex]4(4a_{n-2}+6b_{n-2})[/tex] بنویسیم. بعد با استفاده از رابطه [tex]6a_{n-1}=6(-2a_{n-2}-4b_{n-2})[/tex] عبارت [tex]b_n[/tex] رو از رابطه حذف کرد.".
منظورم اینکه از کدوم رابطه مقدار [tex]a_n[/tex] رو محاسبه میکنیم ؟
و از کدوم رابطه مقدار [tex]b_n[/tex] رو حذف میکنیم ؟
اگه توضیح بدین ممنون میشم .

منظور اینه که قصد داریم دنباله a رو مستقل از b حساب کنیم تا بشه فرم صریحش رو حساب کرد.

خیلی ممنون.

سلام
فکر کردم شاید این روش حل هم به درد دوستان بخورد.
نیازی به یافتن [tex]a_n[/tex] نداریم کافی است نسبت خواسته شده را بدست اوریم
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=\frac{-2a_n-4b_n}{2a_n+2b_n}=-1\: -\frac{b_n}{a_n+b_n}[/tex]
حال اگر اینبار نسبت [tex]b_{n+1}[/tex] را به مجموع بدست بیاوریم
[tex]\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=\frac{4a_n+6b_n}{2a_n+2b_n}=2+\frac{b_n}{a_n+b_n​}\: \: \: \: \rightarrow\: \: \: \: \frac{b_n}{a_n+b_n}=2n\: [/tex]
حال اگر ۲n را در رابطه بالا قرار دهیم داریم[tex]\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=-1-2n[/tex]
حال برای رسیدن به منظور مسئله کافی است n را ۱۹ در رابطه قرار دهیم تا مقدار[tex]-39[/tex] بدست اید.

(10 فروردین 1396 01:54 ق.ظ)msour44 نوشته شده توسط: [ -> ]سلام
فکر کردم شاید این روش حل هم به درد دوستان بخورد.
نیازی به یافتن [tex]a_n[/tex] نداریم کافی است نسبت خواسته شده را بدست اوریم
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=\frac{-2a_n-4b_n}{2a_n+2b_n}=-1\: -\frac{b_n}{a_n+b_n}[/tex]
حال اگر اینبار نسبت [tex]b_{n+1}[/tex] را به مجموع بدست بیاوریم
[tex]\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=\frac{4a_n+6b_n}{2a_n+2b_n}=2+\frac{b_n}{a_n+b_n​}\: \: \: \: \rightarrow\: \: \: \: \frac{b_n}{a_n+b_n}=2n\: [/tex]
حال اگر ۲n را در رابطه بالا قرار دهیم داریم[tex]\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=-1-2n[/tex]
حال برای رسیدن به منظور مسئله کافی است n را ۱۹ در رابطه قرار دهیم تا مقدار[tex]-39[/tex] بدست اید.

سلام.خیلی ممنون

از عزیزانی که وقت می ذارن و با حوصله و دقت سوال ها رو جواب می دن، نهایت تشکر رو دارم.
موفق و پیروز باشید