تالار گفتمان مانشت

می خواهیم 3 کمیته علمی متمایز به کمک 5 دانشجو تشکیل دهیم به طوری که هر دانشجو عضو حداقل یک کمیته باشد و هر دو کمیته دقیقا 2 عضو مشترک داشته باشند. به چند راه می توان کمیته ها را تشکیل داد؟
1)60
2)360
3)420
4)630

سلام. این سوال سوال سختیه. مساله رو به دو حالت افراز میکنیم:

حالتی که دو نفر (انتخاب 2 از 5) در هرسه کمیته باشن. 3 نفر دیگه هرکدوم باید دقیقاً توی یه کمیته (3 حالت) باشن. جواب میشه [tex]\binom{5}{2}3^3=270[/tex]

حالتی که یک نفر تو هر سه کمیته باشه و 3 نفر هر کدوم دقیقاً تو دوتا کمیته باشن و نتونن هر سه تو یه کمیته باشن (طوری که اشتراک هر دو کمیته بشه 2) نفر آخر هم 3 حالت برای انتخاب یه کمیته داره. جواب میشه [tex]\binom{5}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\times3=360[/tex]

حالتی که هیچ شخصی توی هر سه کمیته قرار نگیره ممکن نیست. چون باید حداقل 6 دانشجو داشته باشیم. جواب میشه مجموع دو حالت ذکر شده یعنی 630