سلام به دوستان چرا دو جمله زیر درست می باشند؟
۱- در هر گروه [tex](b*a)^{-1}= a^{-1}*b^{-1}[/tex]
۲- در هر گروه اگر وارون هر عضو خودش باشد آن گروه آبلی می باشد.
سلام
من در پاسخ به جای استفاده از نمایش اینورس یا همون توان منهای یک از علامت پریم و e به جای عضو خنثی برای سادگی استفاده کردم امیدوارم بپذیرید.
فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b دو عضو از آن باشند، داریم:
یک a*b)*(a*b)'=e)
دو a*b)*(b'*a')=a*(b*b')*a=(a*e)*a'=a*a'=e)
دو a*b)*(b'*a')=a*(b*b')*a=(a*e)*a'=a*a'=e)
از ۱ و ۲ قسمت یک سوال حاصل خواهد شد.
توضیح اضافه اینکه در قسمت دو در تساوی ها از خاصیت شرکت پذیری گروه بهره بردیم.
فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b غضوی از آن باشند که برای هر عضو چون a از G خاصیت a=a' برقرار باشد، برای اینکه نشان دهیم آبلی است باید در واقع نشان دهیم که a*b=b*a و برای این داریم:
۱- a*b)*(a*b)=e)
۲- a*b)*(b'*a')=e)
۳- 'a*b=b'*a
۴- a*b=b*a
توضیح اضافه:
قسمت یک از خاصیت مسئله نتیجه می شود چرا که بنا به تعریف گروه a*b یک عضو گروه محسوب می شود.
قسمت دو را به سادگی می توان بررسی کرد (مثل بالا)
قسمت سه ار یک و دو نتیجه می شود
قسمت چهار از سه و خاصیت مسئله برای اعضای گروه نتیجه می شود یعنی a=a' و b=b'
(۲۲ تیر ۱۳۹۲ ۰۶:۳۲ ب.ظ)بنده ی خدا نوشته شده توسط: سلام
فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b دو عضو از آن باشند، داریم:
[tex](a*b)*(a*b)^{-1}= e[/tex]
[tex](a*b)*(b^{-1}*a^{-1})= a*(b*b^{-1})*a^{-1} = (a*e)*a^{-1} = e[/tex]
و بدین شیوه تساوی طرفین عبارت [tex](a*b)^{-1}= b^{-1}*a^{-1}[/tex] اثبات می گردد.
توضیح اضافه اینکه در قسمت دو در تساوی ها از خاصیت شرکت پذیری گروه بهره بردیم.
فرض کنیم که G یک گروه باشد که a و b غضوی از آن باشند که برای هر عضو چون a از G خاصیت [tex]a^{-1}=a[/tex]
برقرار باشد، برای اینکه نشان دهیم آبلی است باید در واقع نشان دهیم که a*b=b*a و برای این داریم:
[tex]1.(a*b)*(a*b)= e[/tex]توضیح اضافه:
[tex]2.(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})= e[/tex]
[tex]3.(a*b)=(b^{-1}*a^{-1})[/tex]
[tex]4.(a*b)=(b*a)[/tex]
قسمت یک از خاصیت مسئله نتیجه می شود چرا که بنا به تعریف گروه a*b یک عضو گروه محسوب می شود.
قسمت دو را به سادگی می توان بررسی کرد (مثل بالا)
قسمت سه ار یک و دو نتیجه می شود
قسمت چهار از سه و خاصیت مسئله برای اعضای گروه نتیجه می شود یعنی [tex]a^{-1}=a[/tex] و [tex]b^{-1}=b[/tex]
سلام ممنون از جواب خوب و کاملتون با اجازه اتان عبارت های ریاضی را بازنویسی کردم تا خواناتر باشد.