سلام. یه کم طولانیه اما به نظرم کمکتون میکنه.

میگه یجوری ده تا شی مختلف رو بده به ۴ نفر که دست دوتا از اون ها خالی بمونه. اولین کار اینه که دو برنده خوش شانس رو انتخاب کنی (همون ترکیب ۲ از ۴) قدم بعدی اینه که جوری جایزه ها رو بدی دست این دو نفر که هیچی باقی نمونه برای بازنده ها. حالت هایی که ممکنه پیش بیاد تا دست دو تا بازنده حتما خالی بمونه از این قراره:
یکی از ده تا جایزه رو بدم برنده اول و ۹ تای باقی مونده رو بدم به برنده دوم, یا, دوتا از ده تا به اولی و ۸تای باقی به دومی, یا, به همین ترتیب تا... ۹ تا از ده جایزه به برنده اول و یدونه باقی مونده به دومی.
اینایی که گفتم به زبون ریاضی میشه این:


اگه حساب کنید اون ترکیبات داخل کروشه (حالات مختلف تقسیم جایزه ها) حاصلش ۱۰۲۲ هست. یعنی ۲ به توان ۱۰ منهای ۲/

به جای این راه حل سخت و کشنده! بهتره بیشتر فکر کرد! مثل راه حل شما:
تقسیم ۱۰ جایزه مختلف بین دو نفر (جوری که نباید دست هیچ کدوم خالی باشه ) رو میشه این طور تعریف کرد: هر جایزه یا دست برنده اوله یا دست برنده دوم. این یعنی هر جایزه ۲ حالت داره. پس کل حالات مختلف برای جایزه ها (که میشه انواع حالات مختلف تقسیم جایزه بین دو نفر) ۲ به توان ۱۰ حالته.
اما چون سوال تاکید کرده حتما دو نفر جایزه گرفته باشن; حالتی که همه جایزه ها دست برنده اول و حالتی که همه جایزه ها دست برند دومه رو از کل حالات بر میداریم. (میتونید دست برنده اول بودن رو صفر بگیرید. دست برنده دوم بودن ۱)
که میشه ۱۰۲۲ حالت. (یادتون نره ترکیب ۲ از ۴ رو در این عدد ضرب کنید )

ببخشید که یه کم سخت گفتم.