قضیه: یک چند جمله درجه [tex]n[/tex]، با ضرایب مختلط همواره دارای [tex]n[/tex] ریشه مختلط است.
دقت کنید که تو این قضیه ریشه های مضاعف چند تا ریشه محسوب میشن. مثلا:
[tex](z^{3}-1)(z^{3})=0[/tex]
دارای ۶ ریشه است که ۳ تا از قسمت اول به دست میاد و ۰ هم ۳ ریشه محسوب میشه.
چند جمله ای های دارای ضرایب حقیق هم حالت خاصی از این قضیه محسوب میشن و همیشه دارای [tex]n[/tex] ریشه هستند، گرچه ممکنه همه ریشه هاشون حقیقی نباشه.
در مورد سوال شما:
[tex]z^{10} z^{8} z^{6} z^{4} z^{2} 1=0\Rightarrow z^{6}(z^{4} z^{2} 1) z^{4} z^{2} 1=0\Rightarrow (z^{4} z^{2} 1)(z^{6} 1)=0\Rightarrow z^{6} 1=0or z^{4} z^{2} 1=0[/tex]
قسمت [tex]z^{6} 1[/tex] دارای ۶ جوابه که به سادگی به دست میاد. قسمت [tex]z^{4} z^{2} 1=0[/tex] هم به دارای ۴ تا جوابه که با یه تغییر متغیر به سادگی به دست میاد.